有氧生物过程中的氧气供应是至关重要的。出于这个原因，本文介绍了不同细胞的氧气需求，并总结了确定生物反应器中氧气转移的实验和数值可能性。重点是使用计算流体动力学和最先进的表面通气以及强制通气生物反应器模型，计算体积氧气质量转移系数（kLa）。此外，还介绍了确定kLa值和气泡大小分布的实验方法。
关键词：生物反应器，CFD模拟，多相模型，氧气转移率，人口平衡模型
1 引言
生物制药是一个快速增长的市场，对制药业具有巨大的潜力。目前全球市场价值超过3000亿美元，预计到2024年将增加到3890亿美元。根据生物制药的类型，要么使用植物或动物来源的细胞培养物，要么使用微生物。由于大多数生物制药都是在有氧过程中生产的，因此细胞的氧气供应是非常重要的。氧气必须以溶解的形式持续存在于培养基中，以便细胞持续利用。由于其低溶解度，氧气是唯一需要在整个过程中添加的营养物质。如果氧气有限或氧气浓度波动，生长速度就会降低，并可能导致产品形成率降低和新陈代谢的变化。细胞所需的氧气量可以用特定的氧气吸收率qO2来表示，这是每个生物体的特点，在不同的过程阶段和过程条件下可能有所不同。
所需的氧气是以空气、纯氧或两者混合物的形式，提供给各自的生物反应器系统，而曝气的类型则根据系统的不同而不同。搅拌罐生物反应器（STR）是生物技术中最经常使用的生物反应器，通常通过强制曝气来充气。相比之下，轨道摇动系统和波浪混合生物反应器通常只通过液体的表面进行充气。
为了满足细胞的氧需求，氧转移率（OTR）必须等于或大于所有细胞的氧摄取率（OUR），据此，OTR由kLa和氧浓度差的乘积计算出来。对于kLa值的实验测定，已经开发了不同的方法。根据测量方法的不同，确定的数值也会有很大的不同。
此外，还可以调查可用于气体交换的表面积。因此，对于多分散系统，如STR和空运生物反应器，特定的界面面积特别有意义，因为气体交换表面与氧气转移率成正比。
为了在工艺工程方面描述生物反应器的特征，计算流体动力学（CFD）模拟被越来越多地使用。CFD允许对生物反应器进行时间和空间分辨，并在开发阶段就对其进行硅学优化。使用两相模型，有可能对所有类型培养系统的体积氧传质系数做出预测。不同CFD模型的选择和最终与种群平衡模型（PBM）的耦合，对经济和现实的预测至关重要。
本综述评估了预测氧气转移率的实验和数值方法的潜力，特别强调基于CFD的方法。首先，概述了生物制药生产中使用不同生物体的特定氧气吸收率，然后总结了不同生物反应器中kLa值的经验计算方法。最后，将描述和讨论通过CFD数值确定kLa值的可能性，将介绍各自生物反应器系统的不同模型，并对模型选择和模拟基础设施的经济效益进行评估。此外，还将介绍传质、界面、凝聚和气泡破裂模型对kLa计算的影响。
2 细胞的需氧量
为了确保向细胞（包括动物和植物细胞以及微生物）提供充足的氧气，生物反应器中的OTR必须大于或等于OUR（公式（1））。
OTR≥OUR (1)
OTR将在第3节详细讨论。OUR是细胞特异性氧摄取率qO2和生物质浓度cx的乘积（公式（2））。
OUR=qO2cx (2)
细胞特异性摄氧率在指数增长阶段是恒定的，但在其他过程阶段，如滞后期或高原期会发生变化。此外，生长速度和限制性碳源的选择都会影响特定的需氧量。因此，根据细胞系、工艺和培养基，必须首先确定一个合理的qO2值。
2.1 特定氧摄取率的确定
对于特定氧摄取率的实验测定，有几种方法，最常用的技术总结在表1中。
表1. 估算特定摄氧率qO2的实验技术概述及所需的测量参数
a) 对于所有技术，必须知道生物质浓度。
应用气相质量平衡计算需要精确的气体入口和出口的氧气分析仪，以及控制流量，例如，通过质量流量控制器。这种方法适用于所有类型的生物反应器，但如果气体流速高而qO2和生物反应器体积相对较小，则可能不太准确。所测得的气体浓度可用于计算OTR，从而计算出OUR。为了最终计算出qO2，OUR，必须除以生物质浓度，例如通过离线测量确定。动态评估方法是基于对液相中氧气消耗的测量。在运行过程中，氧气供应被关闭，溶解氧浓度的下降被记录。必须确保这个测量阶段不需要太长的时间，以避免过程中的氧气限制。溶解氧下降的斜率可以通过除以生物质浓度来计算qO2，在这个过程中可以进行多次测量。对于溶解氧浓度曲线方法，为便于计算必须知道OTR，或者知道kLa值和溶解氧浓度，有了这个，就可以计算出OUR（公式（5）），从而计算出qO2。然而，必须注意的是，测量的kLa值也是不同的，因此，kLa值测定的误差和不准确会相应地影响qO2的计算。
此外，还有不同的方法，如产量系数法，该方法使用简化的化学计量学计算，其基础是OUR等于生物量浓度和生长率的乘积除以氧的细胞产量，这种方法的准确性可以通过引入维持系数来提高，因为在这个过程中，总产量不是恒定的。
值得注意的是，测量的具体摄氧率取决于方法和传感器的质量。例如，由动态评价方法确定的qO2值，通常比由溶解氧浓度和OTR确定的qO2值小。
2.2 文献中关于特定氧气的数值 摄取率
从现有的文献资料中可以看出，由于使用了不同的测量方法、克隆、培养基和过程，具体的氧气吸收率有很大的不同，因此，不能总是对感兴趣的过程进行一对一的采用。表2总结了不同细胞系的qO2值分布。一般来说，我们建议测量一个生物过程本身的需氧量。作为一种选择，可以从表2中抽取qO2值分布的第三四分位数，并计算出相应的kLa值。在所有考虑的实验中，75%的OTR都足够高。
表2. 使用平均值、第一（Q1）、第二（中位数，Q2）和第三（Q3）四分位数和不同的特定摄氧率qO2的概述
3 氧气质量转移
由于氧气几乎不溶于水，并被细胞永久地消耗掉，所以必须不断地向系统中添加氧气。
3.1 双膜理论
双膜理论中的液相传质总系数KL，根据公式（3）由液侧传质系数和气侧传质系数组成，可以被简化。由于氧气在水中的溶解度低，kG比kL大得多；因此，kG项可以被忽略，KL≈kL。温度依赖性是通过将温度与公式（3）中的通用气体常数和亨利常数Hcp联系起来描述的。如果氧气被认为是理想气体，由于Hcc = RTHcp的联系，也可以使用无尺寸亨利常数Hcc。
OTR经常被用来量化氧气转移。OTR是液面传质系数kL、界面面积a和氧气浓度梯度的乘积（公式（4））。在实验中，只能测量总的传质KL，而不能单独测量单个的传质系数kL和kG，但通过前面描述的简化，KL可以被假定为kL。尽管如此，在实践中单独测量kL和a往往是具有挑战性的，因此，这两个参数被合并为kLa。kLa和a的测量方法将在第4.1和4.2节中描述。OTR对水动力参数的依赖性从中得到了说明。OTR取决于流体的物理特性、生物反应器的几何形状、工艺参数和生物质浓度。系统中氧气浓度的变化可由公式（5）描述。为了避免培养过程中的氧气限制，OTR必须大于或等于OUR。
随着时间的推移，人们开发了各种经验和半经验公式来预测kL、a和kLa。此外，对于表面加气的生物反应器，如摇瓶、圆柱形摇动生物反应器、管夹、微孔板和波纹混合生物反应器，已经开发了确定kLa值的经验性关联方法。
3.2 气泡破裂和凝聚
在强制放气的情况下，特定的界面面积a主要取决于气泡的大小和形状。因此，有两个过程对气泡的大小分布有决定性的影响，对可用的传质面积也有影响。首先，气泡可以破裂成两个或更多的气泡，其次，气泡也可以合并，这个过程分别称为破裂和凝聚。在湍流中，如在生物反应器中，由于湍流波动和碰撞造成的破裂是最常见的。其他三种机制是粘性剪切应力、剪切脱落过程和界面不稳定性。气泡破裂的建模通常包括两个子模型，一个是破裂频率，一个是产生的子气泡尺寸。大多数模型假定是二元破裂。
除了气泡破裂，第二个现象是更复杂的凝聚。除了气泡与液体的相互作用外，气泡与气泡之间的相互作用也参与了这个过程。在完全凝聚发生之前有三个步骤。首先，两个气泡相遇并以薄膜的形式困住少量液体，只要气泡保持接触，液体就会从薄膜中排出。如果液面下降到临界厚度以下，薄膜就会破裂，气泡就会融合。只有当相互作用的时间长到足以将临界量的水从薄膜中排出时才会发生凝聚。
要想发生凝聚，气泡必须首先发生碰撞。通常情况下，如果气泡的相对速度不同，就会发生碰撞。有研究表明，相对速度差异的发生可以分为五个不同的类别：湍流波动、粘性剪切应力、湍流涡流中的捕获、浮力和尾流相互作用。对于凝聚频率的建模，要么采用完全的经验模型，要么采用基于物理学的模型。在物理模型中，凝聚频率是由凝聚效率和碰撞频率的乘积得出的。
4 实验方法
不同的实验方法被用来确定氧气转移和气泡大小分布。本节描述了可能的方法，它们可用于生物反应器系统的工艺工程表征或CFD模拟的验证（第5节）。
4.1 体积氧传质系数测量
多年来，各种测量体积氧传质系数（kLa）的方法已经被开发和广泛研究，据此可以区分非生物和生物的测量方法。通常情况下，在培养过程中进行生物表征之前，首先对生物反应器进行非生物表征（即，在没有细胞的情况下）。以下方法是最常见的：
- 基于非生物性饱和度的方法（放气法和动态亚硫酸盐法），
- 用化学模型系统进行测量（静态亚硫酸盐法、肼法、葡萄糖氧化酶法），
- 基于生物饱和度的方法（呼吸性放气法），
- 生物稳态方法（气体平衡法）。
最常见的测量方法是利用氮气来剥离氧气，氧气被剥离后，再次用氧气曝气。通过氧气曝气发生的饱和过程的斜率，可以用来确定OTR。由于饱和过程中没有细胞活动，OUR为零，可以忽略。该方法可用于水或细胞培养基，以尽可能地达到物理流体特性。同样，动态亚硫酸盐法利用亚硫酸钠来消耗氧气，然后测量饱和斜率。该反应是由重金属离子催化的，主要是铜，必须在一个非常严格的范围内。此外，重金属离子需要被正确处理。所述的方法，基于通过细胞、氮气或化学耗竭进行氧气剥离后的氧气饱和度，在很大程度上取决于溶解氧浓度的精确测量。传统的安培氧气探针和基于带有荧光染料的膜的现代探针，都有一定的反应时间，这影响了测量，甚至使其无法在高kLa值的范围内测量，因为另一个限制是在饱和状态下气泡对探头测量的影响，这可以通过在外部循环中的测量来消除，是以用膜来消除所有气泡。此外，测量的具体位置会影响结果，测量位置改变是复杂的，甚至不可能，这都源于生物反应器的几何形状和探针端口。
在体外培养过程中，采用了呼吸放气法。在细胞生长阶段，氧气供应被关闭，因此，氧气被耗尽。溶解氧浓度下降的速度等于OUR，可以使用以下简化公式（6）。
在达到所使用细胞类型的临界氧浓度之前打开氧气供应，氧浓度会增加，直到达到饱和。氧气耗尽过程中曲线的斜率可以用来确定OUR，接下来饱和过程的斜率和确定的OUR可以用来计算OTR，从而计算出kLa值。与呼吸放气法相比，气体平衡法中的氧气浓度，是通过气体分析仪对进口和出口气流进行额外的测量，从而得出氧气浓度。在稳定状态下，OTR与OUR相对应。因此，可以根据公式（7）计算kLa。
然而，气体平衡方法需要非常敏感的测量，特别是对于较小的生物反应器，因为输入和输出气体之间的差异可能非常小。尽管如此，它仍然被认为是最精确的方法，因为在供应氧气的同时，细胞会消耗氧气，因此，培养的原始状态被用来确定气体质量转移。
应该注意的是，测量方法的选择对测量的kLa值有相当大的影响。例如，用亚硫酸盐法测量取得的kLa值比用电解质溶液测量的要高，特别是在搅拌器低速运转时。对放气法和气体平衡法的直接比较也显示出明显的差异，尽管不能确定明确的趋势。
4.2 气泡大小分布测量
与表面充气系统相比，多分散系统特定相间面积的确定要复杂得多。相间面积是通过实验确定的，通过气泡大小的分布，可以区分为侵入式和挤出式的测量方法。侵入式测量方法的优点是测量不影响流动，通常可以调查整个生物反应器，但这些测量方法在高通气率下往往达到其极限。此外，被检查的生物反应器必须是光学透明的，这也导致了一些问题，特别是对于不锈钢系统。使用侵入式方法，测量往往只能在局部进行，各种方法已经被开发出来用于固体颗粒，但某些方法也可用于气泡，尽管这些气泡在物理上与固体颗粒不同。
侵入式方法的例子包括聚焦光束反射测量（FBRM）和光电方法，如毛细管吸力探针技术（CSP）或智能在线颗粒分析技术（SOPAT）。FBRM方法适用于高浓度的气泡，通过旋转的红外激光的背向散射来测量弦长分布。使用基于内窥镜原理的SOPAT探头，测量窗口中气泡的二维图像被连续记录。在CSP中，气液分散体通过真空下的透明毛细管被提取。在毛细管中，气泡是由一对LED光电晶体管测量的。
基本的挤出式方法包括激光多普勒风速仪（LDA）、超声波和阴影成像（影子摄影）。对于LDA测量，两束激光在透明的生物反应器中相互交叉，如果气泡在光束中移动，光会被散射，通过散射可以确定粒子的速度，每个速度坐标需要一个激光器和一个检测器。因此，三个双束激光器可用于测量STR中的三维气泡速度。然而，气泡的大小只能通过气泡大小和气泡上升速度的相关性来间接确定，这种相关性只对垂直上升的气泡可靠，因此，用LDA测定STR中的气泡尺寸是不合适的。基于超声波的方法，通常由一个超声波发射器和一个超声波接收器组成，声音的衰减被用来测量气泡的大小。超声波方法有一个很大的优势，就是生物反应器不需要透明，已用超声波和光学方法可以取得相当的结果证明了这一点。影子摄影测量属于光学测量方法。相应地，气泡大小分布只能在透明的生物反应器中测量，像LDA和超声波方法一样，测量装置包括一个发射装置和一个位于生物反应器另一侧的接收器。在阴影照相法中，漫射光被发射到生物反应器上，并在生物反应器的另一侧产生阴影，由气泡产生的阴影被相机记录下来（图1）。通常情况下，圆柱形的生物反应器被放置在一个长方形的透明容器中，周围有水，以尽量减少光学失真。随着气泡重叠和气泡群的出现，由于高放气率，气泡的数量超过了光学方法的容量，如阴影摄影。在复杂的图像处理算法的帮助下，还是有可能测量这种系统中气泡大小分布的。对于图像评估，经典的图像处理算法，如过滤器和分水岭算法，以及越来越多的卷积神经网络被使用。
图1. 影子摄影、LDA和超声波三种挤压法的示意图。对于影子摄影方法，生物反应器从一侧被漫射光照亮，气泡的阴影被充电器耦合器件（CCD）相机记录在另一侧，并通过图像处理软件进行评估。与扩散器相结合的激光器可作为光源使用。在LDA方法中，发射的激光束用一个分光器进行分割，光束通过一个透镜在生物反应器内穿过，被测量的体积位于生物反应器的这个区域内。然后，多普勒移位的频率可以由光电倍增管记录，并随后进行评估。对于超声法，不需要透明的生物反应器，通过使用发射器和接收器的环，可以监测水平的生物反应器平面，并可同时测量多个气泡，气泡的大小可以通过评估飞行时间来确定。
5 数值方法
多年来数值流体动力学一直被用于生物反应器的工艺工程表征。与物理实验相比，CFD提供了更详细的结果，相对快速、可重复，而且通常更便宜。此外，可以用相对较少的努力来研究参数范围，并且不依赖于原型。数值方法可用于计算流场、剪切梯度、混合时间、功率输入和沉淀标准。CFD是基于质量、动量和能量守恒定律的。流体动力学问题可以用纳维尔-斯托克斯方程来解决。
在工业应用中，包括生物技术，往往需要湍流来实现充分的混合。湍流对数值模拟有特殊的要求，可以用不同程度的精度来建模。在直接数值模拟中，对守恒方程进行数值求解，而不进行湍流建模。为了减少计算工作量，已经开发了各种湍流模型。在大涡流模拟中，仅对大涡流结构直接求解守恒方程，模型近似于较小的涡流。雷诺均值的纳维尔-斯托克斯方法（RANS）是最常用的湍流建模方法。RANS方法根本不解决湍流结构，这使得它不仅是最简单的，而且是最快的计算方法。在两相模型的帮助下，有可能确定进一步的工艺工程参数，如体积氧传质系数。
5.1 双流体模型
近年来，不同的建模方法已被开发出来，用于两相或多相建模。根据生物反应器的类型，某些模型比其他模型更适合于确定kLa值。两相方法包括分段法、标记和细胞法、水平设置法、蒙特卡洛法和格子-波尔兹曼法。在实践中，流体体积法(VOF)方法已被确立为针对连续相的方法。对于分散系统，主要使用Euler-Lagrange和Euler-Euler方法，其中后者是最先进的。
5.1.1 流体的体积
VOF方法用于自由空气-液体界面，并使用混合流体，混合流体的特性是根据单个流体的相分数αi加权计算的（公式（8）和（9））。几乎整个系统都包含纯流体，只有在相界面才需要考虑混合流体。相分数传输方程是用公式（10）计算的，其中必须满足公式（11）的条件，连续性方程对应于公式（12）和动量公式（13）。F是作用于气-液界面的表面张力，对于表面张力的建模，存在几种模型，其中除了尖锐的表面力模型和抛物线重建的表面张力模型，特别是连续表面力（CFS）和平滑的CFS模型，这里不考虑湍流模型，通常使用k-ε和k-ω模型的变种。k-ω模型，它们都属于RANS模型。在这两种模型中，两个耦合的传输方程被用来描述湍流。在k-ε模型中，使用湍流动能k和湍流能量耗散率ε。对于k-ω模型，则使用具体的耗散率ω来代替湍流能量耗散率。VOF方法是对各种表面通气生物反应器进行建模的最常见方法，用VOF方法建模的不同生物反应器系统的概述见表3。系统的建模范围从毫米升级到立方米级，其中最常使用的是A公司的商业软件解决方案，这种方法特别适合，因为与Euler-Euler方法相比，需要解决的方程较少，因此速度较快。一般来说，可以模拟出与实验数据相当的kLa值。研究表明，平均相对于静态放气法，在不同的填充量和摇动率下，偏差为10.54%。
表3. 用VOF方法模拟的不同表面通气生物反应器系统的概况
5.1.2 Euler-Euler方法
与VOF方法相反，Euler-Euler方法可用于分散的多相系统，它不使用混合流体，但平衡方程对每种流体都单独求解，两种流体的连续性方程对应于公式（14）。然而，这个方程中没有相变，两种流体的动量方程也显示在公式（15）中没有相变。FⅠ,i是来自另一相作用于i相所有界面力的总和，这些力在VOF方法中没有考虑，包括拖力、升力、虚拟质量力、壁面润滑力和湍流分散力。由于准确确定这些力在分析上通常是不可行的，因此使用了部分模型。
拖曳力
拖曳力被描述为对模拟有最显著影响的界面力，阻力的定义是根据公式（16），拖曳力系数CD很难用分析法计算。对于层流中的固体球体，可以根据斯托克斯定律进行计算。因此，通常在实践中使用模型来计算CD。此外，一些模型在发现颗粒成群时通过群组校正来调整阻力系数。
升力
升降力是影响动量传递的另一个力。升力由公式（17）定义，是作用在分散颗粒上垂直于相对速度方向的力。然而，目前升力还没有被完全理解，需要进一步的数值和实验研究调查。
虚拟质量力
虚质力是一种作用于分散粒子的力，具有与额外质量相同的效果。虚拟质量力是根据公式（18）定义的。对于球形粒子，虚拟质量力系数CVM为0.5，然而，对于这个系数存在不同的模型。已有研究表明，虚质现象是非常重要的，特别是在靠近增压器的区域，虚质力在非稳态流动中不应该被忽视。
壁面润滑力
首次考虑到了壁面润滑力（公式（19）和（20））。它是墙的排斥力，作用于分散的粒子，这种效应是由靠近墙的粒子周围不对称的流动造成的，使用两个常数Cw1 = 0.01和Cw2 = 0.05来计算壁面润滑系数。
湍流分散力
首次考虑了湍流分散力（公式（21）），并描述了通过连续相中的湍流波动转移到分散相中的力。
气泡长宽比
默认情况下，一个恒定的气泡直径是用恒定的长宽比来建模的。为了对气泡大小分布进行建模，通常使用PBM（第5.2节）。系统中的气泡越大，对长宽比的建模就越关键。不同的模型已被开发出来。
强制通风的生物反应器
Euler-Euler模型是最广泛使用的两相模型，用于强制通风生物反应器的建模。表4给出了生物反应器的Euler-Euler模拟概述，可以得出结论，PBM的使用已经成为标准。一般来说，可以实现与实验数据的良好一致。例如，根据工艺参数，模拟和实验的kLa值仅相差6.8 %（无混合）和7.5 %（有混合）。使用PBM是进行现实模拟的必要条件，没有PBM的kLa值为18.2 h-1，使用PBM为8.0h-1，而测量值为7.3 h-1。
表4. 用Euler-Euler方法模拟不同强制充气生物反应器系统的概况
5.1.3 Euler-Lagrange方法
与Euler-Euler方法相反，Euler-Lagrange方法从统计学角度描述分散相。各个粒子的路径由常微分方程来描述。使用Euler-Lagrange方法进行STR的两相建模是相当罕见的。然而，这种方法的主要缺点是，模拟时间会随着气泡数量的增加而线性增加，这一事实使得在目前的计算能力下，Euler-Lagrange方法对具有高通气率的生物反应器的经济特性不感兴趣，例如，用于微生物培养。
5.1.4 Lattice Boltzmann方法
一种相对较新的两相CFD模拟方法是Lattice Boltzmann方法（LBM），它不对纳维尔-斯托克斯方程进行数值求解，而是对Boltzmann方程进行数值求解，该方法由两个重复的步骤组成：碰撞步骤和流式步骤。目前，LBM的使用还比较少，但似乎是一种有前途的两相模拟方法。LBM的巨大优势是有可能实现高效的并行化。
5.2 群体平衡模型
基于种群平衡方程（PBE）的种群平衡模型（PBM）可用于描述粒子种群的演变，最广泛的应用之一是对分散气液系统中的气泡大小分布进行建模。一些年来，PBMs已经越来越多地与CFD模型耦合。PBE描述了一个或多个内部坐标密度函数的变化。在气泡尺寸分布的情况下，通常考虑气泡的直径，PBE对应于公式(22) 。源项由四个不同的项组成：凝聚死亡Dcoal，凝聚出生Bcoal，破裂死亡Dbr，破裂出生Bbr（公式（23）至（26））。对于四个源项的关闭，使用了凝聚和破裂模型。
为了模拟气泡破裂，一方面对破裂频率进行建模，另一方面对气泡破裂产生的子体尺寸分布进行建模，而大多数模型只考虑二元气泡破裂。通过实验调查表明，M型子气泡尺寸分布可以获得一致的结果。
凝聚是一个更复杂的现象，因为不仅要考虑气泡-液体的相互作用，还要考虑气泡-气泡的相互作用。凝聚频率可以通过经验模型或凝聚效率和碰撞频率的乘积来建模。
大量的方法被实施用来解决PBE的问题。OpenQBMM是OpenFOAM的一个扩展，可以在OpenFOAM中使用QBMM方法，在搅拌式充气反应器中已经实现了与实验的良好一致性。在类方法中，气泡尺寸分布的气泡直径被划分为离散的类。为了得到一个不依赖于选择类数的解决方案，必须选择足够多的类。类方法最显著的缺点是所需的计算时间，随着类数的增加而呈指数增长。另一个缺点是，气泡不能大于定义的最大类直径。然而，由于计算工作量的增加，必须定义一个气泡的最大尺寸。
不过，对于低粘性流体，最大气泡尺寸可以被估计。通过矩的方法及其进一步的发展，气泡尺寸分布不像类方法那样被建模，而只是气泡尺寸分布的矩，这导致在相同精度下模拟时间大大缩短。只有气泡尺寸分布的矩而不是分布本身是已知的这一事实，可以被看作是最大的缺点，但在实践中往往只有分布的矩是有意义的。例如Sauter直径可以通过第三时刻和第二时刻的比率来确定。
5.3 效率和经济
由于模拟的性质，用CFD模拟永远不可能再现准确的现实。CFD模拟应达到必要的精度，才能成为物理实验的经济补充。CFD模拟中出现的错误可以分为模型错误、离散化错误、迭代收敛错误、舍入错误以及编程和用户错误。其中，后者是唯一可以避免的错误。模型误差通常占总误差的最大部分，也很难估计。关于两相生物反应器的模拟，选择一个合适的两相模型是至关重要的（图2）。一个不恰当的模型选择会导致不现实的结果或不必要地增加模拟时间。对于表面曝气系统，使用VOF模型是合适的。如果要对台式规模的强制通气生物反应器进行建模，其通气率在细胞培养技术中很常见，标准的Euler-Euler模型是完全合适的，因为证明气泡凝聚和破裂的影响对kLa值的影响可以忽略不计。如果使用Euler-Euler模型，还必须考虑其他的模型，这些模型也会影响模型误差和模拟时间。这些模型包括拖力系数、升力系数、虚拟质量力系数、壁面润滑力系数、湍流分散力系数、气泡长宽比和相转移。然而，如果研究用于微生物的系统或大型生物反应器，CFD必须与PBM耦合，以进行现实的建模。除了前面提到的模型外，还使用了凝聚和破裂模型。对于这里提到的所有三个两相模型，必须选择一个湍流模型以及流体粘度和表面张力的模型。
图2. 推荐选择两相模型来计算生物反应器中kLa值的流程图。复杂性，也就是CPU时间，从左至右增加
估计离散化误差的常用方法是Richardson外推法，其他方法有网格系统细化法、网格收敛指数和曲线拟合法。除了离散方案外，网格质量也特别重要，较高的网格质量可以提高表面和体积积分的近似精度，从而减少离散误差。为了进行经济的模拟，应该只选择计算网格，使其细化到达到预期的离散化误差。随着网格密度的增加，计算时间呈指数级增长，然而，只能渐进式地接近精确的解决方案。如果使用类方法来解决PBM，计算时间也随着类数的增加而增加（第5.2节，人口平衡模型）。
由于模拟往往是瞬态的，所以也必须考虑时间离散化。为了确保瞬态模拟的稳定性，通常使用Courant-Friedrichs-Lewy数（CFL）。显式程序的CFL数必须小于或等于1，以确保稳定性。隐式程序也可以在CFL数大于1的情况下保持稳定，但准确性会随着CFL数的增加而下降。如果网格不适应速度，CFL数在整个网格上波动很大，在这种情况下，应该用最大的CFL数来计算时间步长。选择一个合适的CFL数是具有挑战性的，因为需要一个高的CFL数来实现快速收敛。然而，为了实现可靠的收敛，则需要一个低的CFL数。
为了估计总误差，有必要用物理实验来验证CFD模拟，4.2中介绍的测量方法适合于对kLa值进行验证。如果流场也是验证的对象，可以使用像粒子图像测速仪、激光多普勒风速仪或激光诱导荧光等方法。如果开发了自己的CFD代码，也必须事先对该代码进行验证。
6 结论
生物制药生产过程中，细胞的最佳氧气供应是至关重要的，因为生长和产品形成率都直接取决于它。因此，了解所用细胞的需氧量和确定系统的氧气转移率是有意义的。关于第一点，有可能表明特定的氧气吸收率因生物体和所选的测量原理而异。
经验公式可以用来估计kLa值，这是一个快速的方法，但计算出的值可能相差十倍，这取决于模型。此外，它们不提供任何确定系统中局部限制的可能性。如果一个生物反应器已经实际存在，kLa值可以通过使用4.1节中描述的测量方法通过实验确定。然而，对于大型系统来说，这可能是非常资源密集型的。CFD提供了一个很好的替代方案来帮助解决这个问题，它可以绕过经验相关的不准确性，在正确使用的情况下更节省资源，并提供了在显示局部局限性的同时在硅学中描述原型的可能性。
对于表面通气的生物反应器，VOF方法提供了足够好的准确性。由于气体分散在这些系统中很少发生，对两相之间力的考虑可以忽略不计，诸如凝聚和气泡衰减等现象不需要考虑。
对于STR和空运反应器，VOF方法由于过于简化而不能令人满意。Euler-Euler方法更适合于分散体系，因为使用这种方法可以考虑界面力。为了考虑多分散性和凝聚及气泡破裂等现象，该方法必须与PBM相结合，这导致了更真实的结果，但模拟时间延长了大约2倍，这取决于模型的情况。Euler-Lagrange方法，较少用于模拟气泡，也适用于这种生物反应器系统，但计算工作量随着气泡数量的增加而线性增加。此外，使用Euler-Euler方法，可以观察到计算时间略有增加。
在未来，CFD将更多地被用于生物反应器的过程工程表征。由于计算能力的不断提高和相应的价格下降，将有可能在经济的时间框架内，用更复杂的模型对湍流等现象进行建模。利用现有的计算能力，也有可能同时研究大量的过程参数组合。此外，CFD与生长和产品形成动力学的耦合将被越来越多地使用。
所用符号
希腊字母
下标和上标
缩略语
本综述提供了确定表面通气和强制通气生物反应器中，氧气传递的数值方法，以及确定体积氧气质量传递系数和气泡大小分布的实验方法的总结。重点是多相CFD和与人口平衡模型的耦合。
